La antiderivada desempeña un papel importante en matemáticas y cálculo, ya que halla el área bajo la curva utilizando las propiedades y la fórmula de las integrales. Además, proporciona información interesante sobre el cambio continuo de las funciones. Para la discusión de la antiderivada tener un conocimiento detallado de la derivada o diferenciación.
La antiderivada es un concepto fundamental en el marco matemático que nos permite analizar y resolver problemas que implican cambio y acumulación continuos. Sus ideas y técnicas forman parte esencial del cálculo y tienen numerosas aplicaciones prácticas en diversas disciplinas científicas y de ingeniería.
En este artículo, discutiremos a fondo la antiderivada junto con su definición, tipos, fórmulas o reglas para realizar la antiderivada en diferentes funciones, y para una mejor comprensión de la antiderivada resolver diferentes ejemplos.
Definición de Antiderivada
En matemáticas, la antiderivada es un concepto fundamental del cálculo que representa la suma de cantidades infinitesimalmente pequeñas. Los límites de las antiderivadas que intervienen en el signo integral de la función especifican áreas de integración con límites superior e inferior. Los límites superior e inferior muestran el rango de cualquier función.
Según Wikipedia, "Las antiderivadas son el análogo continuo de una suma, que se utiliza para calcular, Áreas, volúmenes y sus generalizaciones." Se representa como "∫" y este signo se conoce como signo integral. Además, el tema específico que se utiliza para la antiderivada se conoce como cálculo integral.
Puede considerarse como la operación inversa de la diferenciación o derivada, que se centra en hallar la tasa de cambio de una función. La antiderivada nos permite determinar la cantidad total o el área bajo una curva y resolver diversos problemas matemáticos relacionados con tasas, volúmenes, áreas y muchos más.
¿Cómo hallar la antiderivada?
Si conocemos la "g'" de las funciones que son diferenciables en todas partes de sus dominios, entonces podemos calcular g tomando la antiderivada de la función derivada dada. En cálculo de derivadas "g'" se conoce como la derivada de cualquier función "g" mientras que en cálculo de antiderivadas G se conoce como la antiderivada de "g'" bajo la misma variable en la que está definida la derivada de la función.
El proceso de hallar la antiderivada de cualquier función se conoce como antidiferenciación o integración. Es el proceso inverso de la derivada o diferenciación.
Tipos de antiderivadas:
En general, existen dos tipos básicos de antiderivados.
-
Antiderivado indefinido
-
Antiderivada definida
Antiderivada definida:
En esta forma, se define el límite inferior y superior de la antiderivada, es decir, (valor inicial y final). Su fórmula matemática puede expresarse como,
ab f(x) dx = F(b) - F(a) = C,
Donde C es un número constante que se encuentra después de simplificar el valor de la integral utilizando los límites de la integral definida.
Antiderivado indefinido:
En esta forma, los límites inferior y superior no están definidos correctamente. La antiderivada de cualquier función "f(x)" es igual a la "F(x)" y su fórmula matemática se puede representar como:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Donde C es una constante integradora que entra en la integral indefinida en el proceso de hallar la antiderivada de cualquier función.
Reglas de la antiderivada
Existen algunas reglas básicas de la antiderivada que se comentan a continuación en la tabla:
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Reglas |
Fórmula general |
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Regla de la suma |
∫ [f(x) + g (x)] dx = ∫ [f(x)] dx+ ∫ [g(x)] dx |
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Regla de la diferencia |
∫ [f(x) - g (x)] dx = ∫ [f(x)] dx - ∫ [g(x)] dx |
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Regla de poder |
∫ [f(x)] n dx = [f(x)] n+1 / (n + 1) + c |
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Función constante Regla |
∫ [Q f(x)] dx = Q ∫ [f(x)] dx |
Fórmula
En la siguiente tabla se explican algunas fórmulas trigonométricas y exponenciales que ayudan a encontrar la antiderivada de diferentes funciones.
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Funciones |
Fórmula |
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Cos(x) |
∫ [cos(x)] dx = sen (x) + c |
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Sin (x) |
∫ [sen(x)] dx = -sin (x) + c |
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Tan(x) |
∫ [tan(x)] dx = -ln(cos(x)) + c |
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Sin-1 (x) |
∫ dx/ (b2 - x )2½ = [ sin-1 (x/b)] + c |
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Cos-1 (x) |
∫-dx/ (b2 - x )21/2 = [ cos-1 (x/b)] + c |
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Tan-1 (x) |
∫ dx/ (b2 + x2 ) = 1/b [ tan-1 (x/b)] + c |
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Exponencial |
∫ enx dx = enx / n + c Donde "c" es una constante. |
Sección de ejemplos:
En esta sección, resolveremos los diferentes ejemplos manuales de antiderivadas con la ayuda de fórmulas básicas y las reglas de las funciones trigonométricas. Además, utiliza la Calculadora de Integrales para facilitar tu proceso de cálculo y encontrar la solución de cualquier función en forma definida o indefinida con pasos detallados.
Ejemplo 1:
Halla la antiderivada de z2 (z + 2) utilizando las reglas y fórmulas de la antiderivada.
Solución:
Paso 1: Supongamos que el valor dado es igual a "A(z)" para la solución de una función dada.
A(z) = z2 (z + 2)
A(z) = z3 + 2z2
Paso 2: Aplicar la integral a ambos lados para encontrar la antiderivada respecto a la variable dependiente como "z".
∫ A(z) dz = ∫ (z3 +2 z2 ) dz
Separa la antiderivada de la expresión anterior con ayuda de la regla de la Diferencia.
∫ A(z) dz = ∫ z3 dz +2 ∫ z2 dz
Paso 4: Resuelve la expresión utilizando la regla de la potencia de la antiderivada.
∫ A(z) dz = z4 / 4 + 2 z3 /3 + C
Así, ∫ z2 (z + 2) dz = (z4 / 4) + 2 (z3 /3) + C
Ejemplo 2:
Halla la solución de 02 (e3x + 3x) dx utilizando la regla de la antiderivada y las fórmulas.
Solución:
Paso 1: Sea la antiderivada dada igual a F(x).
E(x) = 02 (e3x + 3x) dx
Paso 2: Separar las antiderivadas de distintas funciones utilizando la regla de la suma de antiderivadas.
E(x) = 02 (e3x ) dx + 02 (3x) dx
Paso 3: Utiliza la fórmula de la antiderivada de una función exponencial y algebraica.
E(x) = (1/3) e |3x02 + 3(x2 /2) |02
E(x) = (1/3) e |3x02 + 3 x |202
Paso 4: Simplifica la expresión poniendo límites superior e inferior.
E(x) = 1/3[e6 - e0 ] + 3[(2)2 - (0) ] 2
= 1/3[e6 - 1] + 3[4 - 0]
= 1/3[e6 - 1] + 12
= 1/3 e6 - (1/3) +12
= [12 - 1/3] + (1/3) e 6
= [36 - 1/3] + (1/3) e6
= [35/3] + (1/3) e6
= 1/3 [35 + e ]6
02 (e3x + 3x) dx = 1/2[35 + e6 ].
Resumen:
En este artículo, se discute la definición básica de cálculo de antiderivadas y tipos de antiderivadas para una mejor comprensión del concepto de antiderivada. También, discutido algunas fórmulas básicas y reglas de Antiderivative que se utilizan en el proceso de encontrar la antiderivative de cualquier función.
Además, en la sección de ejemplos resolvió la antiderivada definida e indefinida utilizando las reglas de la antiderivada o integral y también proporcionó una calculadora de antiderivadas en línea que demostró ser el mejor método alternativo para encontrar la antiderivada de cualquier función.
En general, el cálculo de Antiderivadas/integrales es un tema muy interesante que juega un papel exclusivo en las matemáticas y la ingeniería. Esperamos que todo el mundo puede resolver los problemas relacionados con facilidad por ir a través del concepto básico de este tema mediante la lectura de este artículo.
